ChatGPT Plugin중 wolfram으로 수행할 수 있는 사례들을 검토중인데요. 오늘은 가장 간단한 운영연구(Operational research), 즉 경영수학에 적용되는 사례를 당분간 탐구해 보겠습니다
LPP(linear programing problem: 선형 프로그래밍 문제)
우선 LPP의 용도부터 알아야겠습니다.
선형 프로그래밍(LP)은 요구사항이 선형 관계로 표현되는 수학적 모델에서 최상의 결과를 얻기 위한 방법입니다. 최적화로도 알려진 수학 프로그래밍의 특수한 경우입니다.
보다 공식적으로 선형 프로그래밍은 선형 등식 및 선형 부등식 제약 조건이 적용되는 선형 목적 함수의 최적화를 위한 기법입니다. 실현 가능한 영역은 볼록 폴리토프이며, 이는 유한하게 많은 반공간의 교집합으로 정의되는 집합으로, 각 반공간의 교집합은 선형 부등식에 의해 정의됩니다.
선형 프로그래밍 문제는 종종 다음과 같은 방식으로 표현됩니다:
최대화 또는 최소화: C = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
조건에 따라:
B1X1 + B2X2 + B3X3 + ... + CNXN ≤ D1
C1X1 + C2X2 + C3X3 + ... + CNXN ≤ D2
...
및 x1, x2, ..., xn ≥ 0
Where:
"C"는 목적 함수이며, "x1, x2, ..., xn"의 선형 함수이며 최대화 또는 최소화해야 합니다.
부등식 "b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn ≤ d1, c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn ≤ d2, ..."는 문제의 제약 조건으로, 변수 "x1, x2, ..., xn"이 취할 수 있는 값을 제한합니다.
"x1, x2, ..., xn ≥ 0"은 변수가 음이 아님을 나타내는 비부정성 제약 조건입니다.
선형 프로그래밍은 산업, 상업 및 경제 분야에서 광범위하게 응용되고 있습니다. 물류, 계획, 스케줄링과 같은 분야에서 의사 결정을 내리고 제약된 최적화 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다.
결국 LPP는 경영에 있어서의 최적화문제를 다루는 영역입니다
이익극대화 및 그래픽 솔루션
첫번째 사럐는 원자재의 제약조건하에 이익을 극대화하는 최적화문제 입니다
GPT-4에서 wolfram을 enable시킵니다
사례를 ChatGPT의 prompt로 자세히 설명하고 해를 구할것을 요청합니다.(영문으로 작성하였으며, 본 사례에서는 편의를 위해 한글로 번역한 내용을 올립니다)
ChatGPT Prompt :
장난감 제조업체는 재료와 인력이 필요한 인형과 껌을 생산합니다.
제약 조건은 다음과 같습니다.
그는 하루에 인형 6개와 껌 5개를 초과하여 생산할 수 없습니다.
하루에 최소 3시간의 노동력을 사용해야 합니다.
사용 가능한 원자재는 하루에 최대 60개입니다.
인형과 껌 하나당 2시간의 노동력이 필요합니다.
각 인형과 껌에 필요한 원자재는 각각 7개와 9개입니다. 인형 당 수익은 130 루피, 껌 당 수익은 60 루피입니다.
LPP를 그래픽으로 공식화하고 풀어서 이익을 극대화합니다.
LPP를 푸는 절차는 다음과 같습니다.
먼저 단어 문제를 LPP 문제로 변환합니다.
먼저 부등식을 제거하여 모든 제약 조건을 방정식으로 변환합니다.
다음으로 그래프에서 실현 가능한 영역과 양쪽 끝의 점을 찾습니다.
마지막으로 이러한 점 값을 사용하여 최대화 방정식에 사용하여 최대 이익을 구합니다.
Wolfram 사용
Plugin 경로 1 : wolfram
선형 프로그래밍 문제(LPP)는 Wolfram을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있습니다:
목표는 x≤6, y≤5, 2x+2y≥3, 7x+9y≤60, x≥0, y ≥0 의 제약 조건에 따라 소득 함수 P=130x+60y 의 최대화를 구하는 것입니다.
이 LPP에 대한 해결책은 다음과 같습니다:
최대 수익, P=Rs900
생산할 인형의 수입니다, x=6
생산할 껌의 개수입니다, y=2
따라서 장난감 제조업체는 최대 수익 900루피를 달성하기 위해 인형 6개와 껌 2개를 생산해야 합니다.
이제 실현 가능한 영역을 그래픽으로 그려 보겠습니다.
빨간색 점은 제조업체가 수익을 극대화하기 위해 하루에 인형 6개와 껌 2개를 생산해야 하는 최적의 솔루션을 나타냅니다. 실현 가능한 영역은 문제의 모든 제약 조건을 만족하는 영역입니다. 이 영역의 양쪽 끝에 있는 점이 문제의 잠재적 해법이며, 최적 해법은 이익을 극대화하는 해법입니다.
Lessons learned
첫째, ChatGPT 에서 최적화를 구하기 위해 문제를 정리하는 것만으로 wolfram language를 알지 못해도 매우 빠른 시간내에 구할 수 있었습니다. 일반적으로 경영애서는 수백, 수천가지의 제품에 대한 이익극대화 문제나 product mix에 대한 최적화 해를 구해야하는 경우가 있기 때문에 이는 관리회계 담당자나 경영기획 담당의 생산성을 큰 폭으로 증가시킵니다
둘째, 오히려 중요한 것은 경영의 문제에 대해 정확하게 표현하는 능력이 중요해 졌다는 것입니다. GPT를 잘 활용하기 위한 prompt engineering의 영역은 지속적으로 발전사켜야 한다는 점입니다
세째, LPP의 해를 구할 때, 필요했던 LPP 모델의 구성을 매우 다양하게 할 수 있을 뿐 아니라, 모델간의 결합을 통해서 창의적인 문재해결이 가능해 졌다는 것입니다
ChatGPT와의 대화만으로 경영의 문제들을 해결할 수 있다는 것, AI가 경영에 깊숙이 자리잡게 될 날도 그리 멀지 않았습니다.
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